初等幾何学

初等幾何学（しょとうきかがく、英: elementary geometry）は、二次元（点や直線や円など）・三次元（錘体や球など）の図形をユークリッド幾何学的に扱う数学、幾何学の分野である。

概説

ユークリッド幾何学的方法とは図形を直接取り扱う方法であり、補助線などを用いて基本的原理である公理系や定義から平面・空間における具体的かつ幾何学的な命題・定理を証明していく方法であって、19世紀には総合幾何学とも呼ばれた。総合幾何学はまた純粋幾何学と呼ばれることもある。

解析幾何学のように座標や代数的式を用いたり、微分幾何学のように解析学を用いたりしないものである。初等幾何学で扱われる対象が経験的かつ直感的であるため、このように命名されたものと考えられているが、数学において初等といえば必ずしもやさしいなどといった意味ではなく、歴史的に最も古い分野の一つである。

総合幾何学は古典的な射影幾何学も包含し、初等幾何学における問題は何らかの定理や命題を証明するもののほかに、定規とコンパスによる作図問題が有名である。作図問題では、定規は直線を引くためだけに用い、長さを測定してはならず、コンパスは円を書くためだけに用い、書き終わったらただちに紙から離してすぐに閉じねばならない。つまり、定規やコンパスを用いて長さを測定したり、分度器を使ったりする行為すら初等幾何学においては禁止されており、例えば2つの辺の長さが1である直角二等辺三角形の斜辺の長さは ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ であるが、これも初等幾何学における証明や作図行為においては定規で長さを測ってはならない。

教育

初等幾何学の公理系は、古代から長らくユークリッドによって完成されたと思われており、多くの数学者や科学者や哲学者などによって批判的に検討されたが、とくに19世紀後半以降にユークリッド幾何学の公理系が本当に間違っていないのか、矛盾しないのかどうか徹底的に検証され、ダフィット・ヒルベルトによって幾何学基礎論によってその成果がまとめられた。20世紀に入ってからも、コクセターは総合幾何学的方法を重視したし、ジャン・デュドネは線形代数など代数的・解析的手法を応用して図すら使わず、抽象的にその基礎付けを与えたりした。デュドネがユークリッド幾何学の教育からの追放を提唱したことで、日本も彼の影響をそのまま受けた。ヨーロッパでは初等幾何の学習が元から大学の一年次であったことも拍車をかけた。

教育においては長らく重視されてきたが、幾何学基礎論による批判なども相次ぎ、もっと厳密な数学を教えるべきだと一時期取沙汰され、デュドネの著書もそのような流れで執筆されたものである。日本でも明治から戦後まもないころまでは初等幾何学や解析幾何学が体系的に教えられていたが、その後、いわゆる「現代化」などもあり、学校教育からは初等幾何学は大幅に削減された。小平邦彦など、過度に厳密すぎるのもかえって問題ではないかと抵抗した数学者・科学者もいる。

現況

1980年改訂から1992年改訂までの高校数学における学習指導要領は初等幾何学は完全に姿を消したため、1983年から1995年までの大学入試からは出題されなくなった。しかし、1990年代以降に注目されるようになった国際数学オリンピックなどにおいて、日本勢の幾何感覚の薄さが取り沙汰されたことなどによる見直しなどもあり、1994年から実施の学習指導要領において初等幾何学が極めて限定的ではあるが復活した。京都大学の2009年の入試問題乙の問2、2018年の入試問題問6が両問とも超難題として話題となった。2012年から実施されている現行の学習指導要領では、数学Aの選択単元として「図形の性質」が指導項目に入っている。

2022年から実施の新学習指導要領では、数学Aから「整数の性質」は削除されたが、「図形の性質」は残った。とはいえそのまま残ったわけではなく、「コンピュータなどの情報機器を用いて図形を表すなどして，図形の性質や作図について統合的・発展的に考察すること」などが新たに目標に盛り込まれた。ただし、数学Bからはベクトルがカットされ、数学Cで扱うこととなった。

初等幾何学は初等整数論などと同様、数学の専門教育を受けていない一般の人でも問題の趣旨を理解しやすいため、無名のアマチュア研究家が趣味として問題に取り組んでいることも多い分野である。一例として、イギリスの J. F. Rigby の手でも解けなかったラングレーの問題の拡張が、yahooアカウント aerile_re によって証明され、話題になった。

関連人物

• エウクレイデス（ユークリッド）
• アドリアン＝マリ・ルジャンドル
• ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター
• 小平邦彦

関連項目

• 幾何学
• ユークリッド幾何学
• 解析幾何学
• 作図
• 幾何学基礎論

脚注

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注釈

1. ^ 数学教育の文脈で、いわゆる「現代化」と言った場合、新数学（New Math）と呼ばれた固有の教育改革の潮流を指す。
2. ^ 空間図形には触れられず、平面図形のみ。また、軌跡、合同・相似についても扱った（それぞれ現在は数学II、中学数学の範囲である）。
3. ^ 空間図形を含む
4. ^ 一部は数学Aの「数学と人間の活動」に残る

出典

1. ^ ^{a b c d e} 矢野健太郎編、東京理科大学数学教育研究所第2版 編集『数学小辞典』、共立出版、2010年、「初等幾何学」より。ISBN 978-4-320-01931-7。
2. ^ ^{a b} 青本和彦、上野健爾、加藤和也、神保道夫、砂田利一、高橋陽一郎、深谷賢治、俣野博、室田一雄 編著『岩波数学入門辞典』、岩波書店、2005年、「初等幾何学」より。ISBN 4-00-080209-7。
3. ^ 小林昭七『円の数学』、裳華房、1999年。ISBN 978-4-7853-1516-0。
4. ^ “欧州の大学１年次に学習する幾何学の事項を、歴史の流れに沿ってまとめた教科書”Geometry by Its History”の翻訳書。”. 丸善出版. 2019年4月27日閲覧。
5. ^ 小林幹雄、『復刊 初等幾何学』、共立出版、2010年、まえがき参照。ISBN 978-4-320-01930-0。
6. ^ “改訂によるカットの翌年に出版されたのがこの書籍である。”. 共立出版. 2019年4月27日閲覧。
7. ^ 数学教材としてのグラフ理論 (早稲田教育叢書31) ISBN 978-4-76202-253-1, p.i
8. ^ “「幾何大王の最後の問題」”. 2016年4月16日時点のオリジナルよりアーカイブ。2017年9月18日閲覧。 - aerile_reによる、整角四角形問題の初等幾何による証明を構築する汎用的な手法の初出。
9. ^ 斉藤浩「初等幾何で整角四角形を完全制覇」『現代数学』第49巻第2号、現代数学社、2016年2月、66-73頁。  - aerile_reの手法を「外心３つ法」として紹介。

外部リンク

• 初等幾何学における発見的研究法について